Lompat ke konten Lompat ke sidebar Lompat ke footer

Materi Matematika Kelas X SMA - Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Nilai Mutlak Satu Variabel

Dari sudut pandang geometri, nilai mutlak dari x ditulis | x |, adalah jarak dari x ke 0 pada garis bilangan real. Karena jarak selalu positif atau nol maka nilai mutlak x juga selalu bernilai positif atau nol untuk setiap x bilangan real.

Secara formal, nilai mutlak x didefinisikan dengan :

| x | = -x    jika x ≥ 0

| x | = -x    jika x < 0

Definisi diatas dapat kita maknai sebagai berikut :

Nilai mutlak bilangan positif atau nol adalah bilangan itu sendiri dan nilai mutlak bilangan negatif adalah lawan dari bilangan tersebut.

Sebagai contoh,

| 7 | = 7      | 0 | = 0      | -4 | = -(-4) = 4

Jadi, jelas bahwa nilai mutlak setiap bilangan real akan selalu bernilai positif atau nol.

Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Diawal telah disinggung bahwa nilai mutlak x adalah jarak dari x ke nol pada garis bilangan real. Pernyataan inilah yang akan kita gunakan untuk menemukan solusi dari persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak dari bentuk linier.


| x | = a   dengan a > 0

Persamaan | x | = a artinya jarak dari x ke 0 sama dengan a. Perhatikan gambar berikut.


Jarak -a ke 0 sama dengan jarak a ke 0, yaitu a. Pertanyaannya adalah dimana x agar jaraknya ke 0 juga sama dengan a.

Posisi x ditunjukkan oleh titik merah pada gambar diatas, yaitu x = -a atau x = a. Jelas terlihat bahwa jarak dari titik tersebut ke 0 sama dengan a. Jadi, agar jarak x ke nol sama dengan a, haruslah x = -a atau x = a.

| x | < a  untuk a > 0

Pertaksamaan | x | < a, artinya jarak dari x ke 0 kurang dari a. Perhatikan gambar berikut.


Posisi x ditunjukkan oleh ruas garis berwarna merah, yaitu himpunan titik-titik diantara -a dan a yang biasa kita tulis -a < x < a. Jika kita ambil sebarang titik pada interval tersebut, sudah dipastikan jaraknya ke 0 kurang dari a. Jadi, agar jarak x ke 0 kurang dari a, haruslah -a < x < a.

| x | > a  untuk a > 0

Pertaksamaan | x | > a artinya jarak dari x ke 0 lebih dari a. Perhatikan gambar berikut.


Posisi x ditunjukkan oleh ruas garis berwarna merah yaitu x < -a atau x > a. Jika kita ambil sebarang titik pada interval tersebut, sudah dipastikan jaraknya ke 0 lebih dari a. Jadi, agar jarak x ke nol lebih dari a, haruslah x < -a atau x > a.


Secara intuitif, uraian-uraian diatas dapat kita simpulkan sebagai berikut :


SIFAT : Untuk a > 0 berlaku

a.  | x | = a  ⇔  x = a  atau  x = -a
b.  | x | < a  ⇔  -a < x < a
c.  | x | > a  ⇔  x < -a  atau  x > a


Contoh 1

Tentukan himpunan penyelesaian dari |2x - 7| = 3

Jawab :

Berdasarkan sifat a :

|2x - 7| = 3  ⇔  2x - 7 = 3  atau  2x - 7 = -3
|2x - 7| = 3  ⇔  2x = 10  atau  2x = 4
|2x - 7| = 3  ⇔  x = 5  atau  x = 2

Jadi, HP = {2, 5}.


Contoh 2

Tentukan HP dari |2x - 1| = |x + 4|

Jawab :

Berdasarkan sifat a :

|2x - 1| = |x + 4|
⇔  2x - 1 = x + 4  atau  2x - 1 = -(x + 4)
⇔  x = 5  atau  3x = -3
⇔  x = 5  atau  x = -1

Jadi, HP = {-1, 5}.


Contoh 3

Tentukan himpunan penyelesaian dari |2x - 1| < 7

Jawab :

Berdasarkan sifat b :

|2x - 1| < 7  ⇔  -7 < 2x - 1 < 7
|2x - 1| < 7  ⇔  -6 < 2x < 8
|2x - 1| < 7  ⇔  -3 < x < 4

Jadi, HP = {-3 < x < 4}.


Contoh 4

Tentukan himpunan penyelesaian dari |4x + 2| ≥ 6

Jawab :

Berdasarkan sifat c :

|4x + 2| ≥ 6  ⇔  4x + 2 ≤ -6  atau  4x + 2 ≥ 6
|4x + 2| ≥ 6  ⇔  4x ≤ -8  atau  4x ≥ 4
|4x + 2| ≥ 6  ⇔  x ≤ -2  atau  x ≥ 1

Jadi, HP = {x ≤ -2  atau  x ≥ 1}.


Contoh 5 

Tentukan penyelesaian dari |3x - 2| ≥ |2x + 7|

Jawab :

Pertaksamaan yang kedua ruasnya memuat tanda mutlak dapat diselesaikan dengan menguadratkan kedua ruas atau dengan menggunakan sifat :

|a| ≥ |b| ⇔ (a + b)(a - b) ≥ 0

Berdasarkan sifat diatas,

|3x - 2| ≥ |2x + 7|
⇔ ((3x - 2) + (2x + 7)) ((3x - 2) - (2x + 7) ≥ 0
⇔ (5x + 5) (x - 9) ≥ 0

Pembuat nol :

x = -1 atau x = 9

Dengan uji garis bilangan diperoleh

HP = {x ≤ -1  atau  x ≥ 9}


Contoh 6

Tentukan HP dari 2 < |x - 1| < 4

Jawab :

Ingat : a < x < b  ⇔  x > a  dan  x < b

Jadi, pertaksamaan 2 < |x - 1| < 4 ekuivalen dengan

|x - 1| > 2  dan  |x - 1| < 4



Berdasarkan sifat c :

|x - 1| > 2  ⇔  x - 1 < -2  atau  x - 1 > 2
|x - 1| > 2  ⇔  x < -1  atau  x > 3   ................(1)


Berdasarkan sifat b :

|x - 1| < 4  ⇔  -4 < x - 1 < 4
|x - 1| < 4  ⇔  -3 < x < 5   ............................(2)

Irisan dari (1) dan (2) diperlihatkan oleh garis bilangan berikut


Jadi, HP = {-3 < x < -1  atau  3 < x < 5}